设a,b,c∈[0,1]求证a+b+c<=ab+bc+ac+1

分两种情况证明：
① b+c>=1，此时
(ab+bc+ac+1)-(a+b+c)
=a(b+c-1)+1-b-c+bc
=a(b+c-1)+(1-b)(1-c)
>= a*0 + 0 =0
② b+c<1，此时
(ab+bc+ac+1)-(a+b+c)
=a(b+c-1)+1-b-c+bc
>= -a(1-b-c)+1-b-c
= (1-b-c)(1-a)
>=0
综合上面两种情况，都有(ab+bc+ac+1)-(a+b+c)>=0,所以
a+b+c<=ab+bc+ac+1。

因为a,b,c∈[0,1]
所以0<=a+b+c<=3 且ab<=1,bc<=1,ac<=1.
所以1<=ab+bc+ac+1<=4
又因为a+b+c<=3
所以a+b+c<=ab+bc+ac+1

由题意得(a-1)(b-1)(c-1)<=0
展开得abc+a+b+c<=ab+bc+ac+1
所以a+b+c<=abc+a+b+c<=ab+bc+ac+1